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    Jahrhunderts in einer wachsenden Zahl von Gesellschaftsspielen zum Einsatz. Auf dem Massenmarkt beschränkte sich dies fast immer auf sechsseitige Würfel.

    Durch die wachsende Vielzahl der Rollenspielsysteme und beginnendes Sammlertum entstand in den folgenden Jahrzehnten ein Markt für vielfältige Würfeldesigns, der in der Wirtschaft durch die Gründung zahlreicher Unternehmen aufgegriffen wurde.

    Plastikwürfel werden üblicherweise gegossen, wobei ein Einfüllpropfen übrigbleibt, der zusammen mit anderen Unebenheiten durch maschinelles Abrollen geglättet wird.

    Die Beschriftungen sind meist Vertiefungen, in die Farbe eingefüllt wird, seltener aufgedruckt. Genaugenommen stellen diese verschiedenen Bearbeitungen der Seiten ein leichtes Zinken dar, der Effekt ist aber minimal und in der Praxis vernachlässigbar.

    Für den Würfel- und Brettspielmassenmarkt gibt es eine Vielzahl an Produzenten, für die exotischeren Rollenspielwürfel existiert jedoch weltweit nur eine kleine Anzahl renommierter Hersteller.

    Unter diesen Firmen beherrschen vor allem Koplow und Chessex Games den Massenmarkt, Gamescience und Crystal Caste haben sich auf exklusivere Modelle spezialisiert und setzen sich teils in den Herstellungsverfahren ab; so lehnt etwa Gamescience das Abrollen der Produktionsspuren ab, da dies der Idealität des Würfels stärker schaden soll als die Spuren selbst.

    Besonders aufwendig ist die Herstellung von Kasino-Würfeln, auch Präzisionswürfel genannt. Für das professionelle Glücksspiel werden höchste Anforderungen an die Idealität der verwendeten Würfel gestellt.

    Dazu wird statt der üblichen Kunststoffe Celluloseacetat verwendet, das sich komplett blasenfrei herstellen und somit besonders exakt verarbeiten lässt.

    Seit den er Jahren ersetzt Celluloseacetat das leicht brennbare und lösliche Cellulosenitrat. Aber das modernere Material hat eine Schwäche: Die Toleranzen für die Form von Kasinowürfeln liegen im Bereich von 0, [19] oder 0, [20] Zoll 0, bzw.

    Je nach Spiel und Kasino sind die Kanten und Ecken scharf razor edge oder abgerundet ball cornered und die Oberfläche matt sanded oder poliert polished.

    Bei letzterer Behandlung sind die Würfel durchsichtig, wodurch einige Zinkmethoden s. Das wichtigste Unterscheidungskriterium von Würfeln ist die Anzahl ihrer Seiten und damit der Zahlenbereich, aus dem sie Zahlen generieren können.

    Verbreitet ist die Bezeichnung d n von englisch dice. Die Spalte Ideal gibt an, ob bei einem perfekt gefertigten Vertreter einer Form alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit einträten siehe oben.

    Es sind die fünf platonischen Körper und ein Trapezoeder. Alle sechs sind aufgrund ihrer symmetrischen Form ideal.

    Diese Würfel haben die Form eines stark symmetrischen, aber nicht platonischen Polyeders. Catalanische oder archimedische Körper eignen sich hierfür besonders gut, wobei die Catalanischen Körper aufgrund der Uniformität ihrer Flächen im Unterschied zu den Archimedischen Körpern als ideal gelten.

    Prismen - oder Säulenwürfel bestehen aus zwei Grundflächen und einer beliebigen, meist relativ kleinen ungeraden Anzahl von Seitenflächen.

    Fällt ein Prismawürfel ungerader Flächenanzahl auf eine seiner Seitenflächen, so weist eine Kante nach oben. Deshalb werden hier die Werte mit über die Seitenkanten verlaufenden, farbig abgegrenzten Punkten angezeigt.

    Alternativ erfolgt die Beschriftung wie bei einem herkömmlichen W4, da in den möglichen Ruhepositionen keine der Seitenflächen oben liegt.

    Prismawürfel mit mehr als zwei Flächen sind nur schwer als ideale Würfel herstellbar, da die korrekten Verhältnisse von Seiten- und Grundflächen für eine ausgeglichene Wahrscheinlichkeitsverteilung schwer zu berechnen sind.

    Gamescience sind aber zumindest angeblich ideale W5 und W7 gelungen — gemeinhin werden derartige Formen aber als nicht ideal angesehen. Für Walzenwürfel gibt es zwei verschiedene, aber ähnliche Konstruktionsweisen: Zum einen können n-seitige Prismen verwendet werden, denen an den Deckflächen entsprechend n-seitige Pyramiden aufgesetzt werden.

    Bei ungerader Zahl der Seitenflächen tritt das Problem auf, dass es nach einem Wurf keine obenliegende Seite gibt, dies kann durch Kantenbeschriftung wie bei Prismen gelöst werden.

    Mit vier Seiten ergibt sich ein Tetraeder, und die Deckflächen degenerieren zu Linien, so dass die aufgesetzten Pyramiden entfallen.

    Es gibt zwei Klassen von geometrischen Körpern, die optisch Spindeln oder Kreiseln ähneln. Soll die Beschriftung auf den Flächen erfolgen, muss jede der beiden Pyramiden eine gerade Seitenzahl haben, damit eine Fläche oben liegen kann.

    Damit sind nur Würfel mit 4n Seiten möglich, anders ausgedrückt: Die andere Sorte sind Trapezoeder , die aus Drachenvierecken bestehen.

    Durch Kantenbeschriftung sind die jeweils anderen Seitenzahlen möglich, also Bipyramiden mit 2n Seiten, n ungerade, und Trapezoeder mit 2n Seiten, n gerade.

    In der Praxis werden jedoch nur die Flächenbeschriftungen verwendet. Die Hälften beider Formen wirken bei hohen Seitenzahlen wie angeschnittene Kegel.

    Neben den unten aufgeführten exotischeren Würfeln gehören auch zwei der Standardwürfel zu dieser Klasse: Auch der W6 kann als Trapezoeder aufgefasst werden.

    Kugelwürfel sind eine sehr ungewöhnliche Konstruktionsweise. Gerade deshalb gilt einer von ihnen, der Zocchihedron-W, als eine Art Krönung der Rollenspiel- oder allgemein exotischen Würfel.

    Die Kugel hat damit sechs stabile Zustände. Dieser W6 ist ebenso ideal wie ein normaler Kubus. Je nach Produktionsqualität kann es bei dieser Form zu sehr langen Rolldauern kommen.

    Neben diesen Familien gibt es einige noch exotischere Modelle, dazu gehören polyederförmige, aber weniger reguläre Körper sowie völlig vereinzelte Konstruktionsprinzipien.

    Üblicherweise werden Spielwürfel mit Zahlen beschriftet, da diese das meistens gewollte Zufallsergebnis sind und bei Verwendung mehrerer Würfel Addition und andere Weiterverarbeitung ermöglichen.

    Statt arabischer Ziffern werden teils, besonders beim W6, runde Markierungen, die Augen, verwendet, die völlig äquivalent zu den Ziffern betrachtet werden können.

    Jedoch gibt es Ausnahmen von dieser Regel. Und auch, wenn sie eingehalten wird, ist dadurch die genaue Anordnung der Zahlen noch nicht eindeutig festgelegt, da es meist mehrere Beschriftungen gibt, die diese Regel erfüllen.

    Für den W6 sind zum Beispiel zwei Orientierungen möglich, die auch beide schon seit der Antike verwendet werden. Die Ziffern 6 und 9 sind bis auf Drehung identisch.

    Bei Würfeln, deren Zahlenbereich beide Ziffern verwendet, wird zur einfacheren Unterscheidung meist ein Merkmal hinzugefügt.

    Üblich sind ein Punkt an der Seite, die als unten zu lesen ist, oder ein Unterstreichen dieser. Ein vielfältiges Feld sind Würfel mit alternativen Beschriftungen.

    Halbierte Würfel werden verwendet, um unübliche Seitenzahlen mit verbreiteteren Formen zu simulieren, beispielsweise ein W2, der dadurch erzeugt wird, dass ein W4 mit zwei Einsen und zwei Zweien beschriftet ist.

    Diese werden in Kombination gewürfelt und die Ergebnisse addiert, sodass man Wurfergebnisse mit mehreren Zehnerstellen erhält.

    Dies kann durch zwei verschiedenfarbige W10 mit 0—9, bei denen beispielsweise der rote die Zehnerstelle darstellt, erreicht werden. Zusammengefasste Würfel sind Oktaeder, die die Summe mehrerer Münzwürfe normalerweise mit 0 und 1 zusammenfassen: Für manche Spiele werden Würfel mit Symbolen, die nicht für Zahlen stehen, verwendet.

    In der überwiegenden Anzahl der Fälle sind dies W6. Bei Rollenspielen sind Würfel mit Trefferzonen verbreitet. Statt Symbolen werden teils einfach Farben verwendet.

    Auch Kombinationen von Zahlen- und Symbolwürfel existieren, bei denen etwa nur eine Zahl für Werbezwecke durch ein Firmenlogo oder in einem Spiel durch ein Symbol eines besonders wichtigen Ereignisses ersetzt ist.

    Da es in der menschlichen Kultur viele genau abgezählte Kategorien gibt, bietet es sich an, diese mit passenden Würfeln abzudecken.

    So existieren W4 mit den vier Grundrechenarten , W8 mit den acht Himmelsrichtungen , W12 mit den Kalendermonaten und ähnliche Produkte.

    Als Alltagsgegenstände und leicht zu überblickende Systeme sind Würfel beliebte Beispiele in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

    Umgekehrt liefert die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtige Erkenntnisse für den Einsatz von Würfeln in Spielen.

    Der Wurf eines einzelnen idealen Würfels, gleich welcher Seitenzahl n, ist das klassische Beispiel für eine Gleichverteilung: Beim in vielen Spielen verwendeten gleichzeitigen Wurf zweier gleicher Würfel mit Addieren des Ergebnisses nimmt das Wahrscheinlichkeitsdiagramm dagegen die Form eines Dreiecks an, ein Ergebnis ist umso häufiger, je näher es am Mittelwert des Ergebnisbereiches liegt.

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